Question

下圖是利用計算機(jī)作圖軟件在直角坐標(biāo)平面上繪制的一列拋物線和一列直線，在焦點(diǎn)為的拋物線列中，是首項和公比都為的等比數(shù)列，過作斜率2的直線與相交于和（在軸的上方，在軸的下方）.

證明：的斜率是定值；

求、、、、所在直線的方程；

記的面積為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求所有這些三角形的面積的和.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理成關(guān)于，的方程，進(jìn)而求出的斜率；（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程寫出直線方程即可；（3）聯(lián)立直線與拋物線方程，求弦長與點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求三角形的面積.

規(guī)律總結(jié)：錐曲線的問題一般都有這樣的特點(diǎn)：第一小題是基本的求方程問題，一般簡單的利用定義和性質(zhì)即可；后面幾個小題一般來說綜合性較強(qiáng)，用到的內(nèi)容較多，大多數(shù)需要整體把握問題并且一般來說計算量很大，學(xué)生遇到這種問題就很棘手，有放棄的想法,所以處理這類問題一定要有耐心..

試題解析：（1）由已知得，拋物線焦點(diǎn)，拋物線方程為，直線的方程為于是，拋物線與直線在軸上方的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足則有

而直線的斜率為，則解得

又點(diǎn)在第一象限，則；

直線方程為；

由得則，

而到直線的距離為，

于是的面積，

所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.由于，

所以所有三角形面積和為.

考點(diǎn)：1.直線的方程；2.直線與拋物線的位置關(guān)系.