Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，側(cè)面PBC是直角三角形，∠PCB=90°，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，且平面PBC⊥平面ABCD．證明：
（1）AP∥平面BED；
（2）平面APC⊥平面BED．

Answer 1

分析 （1）取AC，BD的交點(diǎn)O，連結(jié)OE，根據(jù)中位線定理得出OE∥AP，故而AP∥平面BDE；
（2）由平面PBC⊥平面ABCD得出PC⊥平面ABCD，故而PC⊥BD，由菱形性質(zhì)得出BD⊥AC，故而BD⊥平面PAC，于是平面APC⊥平面BED．

解答 證明：（1）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)OE
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O為BD中點(diǎn)．又E是PC的中點(diǎn)，
∴AP∥OE．又AP?平面BED，OE?平面BED．
∴AP∥平面BED．
（2）平面PBC⊥平面ABCD，∠PCB=90°，
∴PC⊥平面ABCD．又BD?平面ABCD，
∴PC⊥BD．
∵平面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，又PC?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PC=C，
∴BD⊥平面APC．又BD?平面BED，
∴平面PAC⊥平面BED．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)與判定，屬于中檔題．