Question

4．y=cos$\frac{cosx}{2+sinx}$（x∈R）的值域為[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]．

Answer 1

分析 設z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，求出函數z的取值，在根據余弦函數的單調性求y的值域．

解答 解：設z=$\frac{cosx}{2+sinx}$，則2z+zsinx=cosx
∴2z=cosx-zsinx
2z=$\sqrt{{z}^{2}+1}$sin（x+θ）
∴sin（x+θ）=$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$
即可得出丨$\frac{2z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}$丨≤1
解得$-\frac{\sqrt{3}}{3}≤z≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由余弦函數圖象可知y的取值范圍為[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]
故答案為[cos$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]

點評 本題需要設中間變量，求出其取值范圍，再根據余弦函數圖象求出其取值范圍．屬于中檔題