Question

7．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，關(guān)于x的不等式x²•cosC+4x•sinC+6＜0的解集是空集，
（1）求角C的最大值；
（2）若c=$\frac{7}{2}$，三角形的面積S=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，求當角C最大時a+b的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷出判別式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范圍，進而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得C的最大值．
（2）根據(jù)（1）中求得C，利用三角形面積公式求得ab的值，進而代入余弦定理求得a+b的值．

解答 解：（1）∵不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosC＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{cosC＞0}\\{16si{n}^{2}C-24cosC≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{cosC＞0}\\{cosC≤-2或cosC≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故cosC≥$\frac{1}{2}$，
∴角C的最大值為60°．
（2）當C=60°時，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴（a+b）²=c²+3ab=$\frac{121}{4}$，
∴a+b=$\frac{11}{2}$．

點評 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，解不等式問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．