Question

3．在如圖所示的幾何體中，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，四邊形ABCD為矩形，AD=2，AB=AF=2EF=1，P是棱DF的中點．
（1）求證：BF∥平面ACP；
（2）求異面直線CE與AP所成角的余弦值；
（3）求二面角D-AP-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于O，連接OP，證明OP∥BF，然后證明BF∥平面ACP．
（2）以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，求出相關點的坐標，求出$\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CE}=（-\frac{1}{2}，-2，1）$，利用向量的數(shù)量積求解，異面直線CE與AP所成角的余弦值．
（3）求出平面DAP的一個法向量，平面APC的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角D-AP-C的余弦值即可．

解答 解：（1）連接BD交AC于O，連接OP∵四邊形ABCD為矩形，

∴O為BD的中點，
又∵P是DF中點，
∴OP∥BF…（2分）∵OP?平面ACP，BF?平面ACP，
∴BF∥平面ACP…（3分）
（2）如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz，
依題意得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），$E（\frac{1}{2}，0，1）$，F(xiàn)（0，0，1），$P（0，1，\frac{1}{2}）$，…（4分）

易得$\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{CE}=（-\frac{1}{2}，-2，1）$…（5分）$cos＜\overrightarrow{CE}，\overrightarrow{AP}＞=\frac{{\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{AP}}}{{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{AP}|}}=-\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$…（6分）
∴所求異面直線CE與AP所成角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{105}}}{35}$…（7分）
（3）由題意可知：AB⊥面PAD，
平面DAP的一個法向量為$\overrightarrow{AB}=（1，0，0）$…（8分）
又可解得$\overrightarrow{AC}=（1，2，0），\overrightarrow{AP}=（0，1，\frac{1}{2}）$
故設平面APC的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$
則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$，不妨令x=2，可得$\overrightarrow n=（2，-1，2）$…（10分）
于是$cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{2}{3}$，
所以二面角D-AP-C的余弦值為$\frac{2}{3}$…（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，異面直線所成角的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．