Question

4．在正方體的12條面對(duì)角線和4條體對(duì)角線中隨機(jī)選取兩條對(duì)角線，則這兩條對(duì)角線構(gòu)成異面直線的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{7}{15}$
• D． $\frac{9}{20}$

Answer 1

分析 先根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出兩條對(duì)角線構(gòu)成異面直線對(duì)數(shù)，再求出從16條對(duì)角線任取2條的對(duì)數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可．

解答 解：正方體的12條面對(duì)角線中每一條對(duì)角線都有5條和它是異面直線，共有12×5對(duì)異面，在這里每一條都重復(fù)兩次，
故兩條面對(duì)角線異面的有（5×12）÷2=30對(duì)，
任何一條面對(duì)角線都與其中的2條體對(duì)角線是異面直線，故有12×2=24對(duì)，
任何4條體對(duì)角線中都不是異面直線，
故這兩條對(duì)角線構(gòu)成異面直線共有30+24=54對(duì)，
從16條對(duì)角線任取2條，共有C₁₆²=120對(duì)，
故這兩條對(duì)角線構(gòu)成異面直線的概率為$\frac{54}{120}$=$\frac{9}{20}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)實(shí)際情況求事件發(fā)生的概率，概率與幾何體結(jié)合考查，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，即考查了概率的基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了立體幾何的空間想像能力，學(xué)習(xí)時(shí)要注意這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的銜接，屬于中檔題．