Question

10．求函數(shù)y=x+$\frac{1}{2（x-1）^{2}}$（x＞1）的最小值．

Answer 1

分析 由x＞1可得x-1＞0，即有y=（x-1）+$\frac{1}{2（x-1）^{2}}$+1=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{2（x-1）^{2}}$+1，運(yùn)用三元均值不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：由x＞1可得x-1＞0，
即有y=（x-1）+$\frac{1}{2（x-1）^{2}}$+1
=$\frac{x-1}{2}$+$\frac{x-1}{2}$+$\frac{1}{2（x-1）^{2}}$+1
≥3$\root{3}{\frac{（x-1）^{2}}{4}•\frac{1}{2（x-1）^{2}}}$+1=$\frac{5}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）³=1，即x=2時(shí)，取得最小值$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用變形的技巧和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．