Question

9．已知sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，且α，β均為銳角，則α+β的值為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和cosβ的值，再利用兩角差的余弦公式求得cos（α+β）的值，可得α+β 的值．

解答 解：∵sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，sinβ=$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，且α，β均為銳角，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
則cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}•\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
再根據(jù)α+β∈（0，π），求得α+β=$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．