Question

7．博鰲亞洲論壇2015年會員大會于3月27日在海南博鰲舉辦，大會組織者對招募的100名服務(wù)志愿者培訓(xùn)后，組織一次APEC知識競賽，將所得成績制成如右頻率分布直方圖（假定每個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的成績均勻分布），組織者計劃對成績前20名的參賽者進(jìn)行獎勵．
（1）試確定受獎勵的分?jǐn)?shù)線；
（2）從受獎勵的20人中選3人在主會場服務(wù)，記3人中成績在90分以上的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出受獎勵分?jǐn)?shù)線在80～90之間，設(shè)受獎勵分?jǐn)?shù)線為x，則（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，由此能求出受獎勵分?jǐn)?shù)線．
（2）受獎勵的20人中，分?jǐn)?shù)在86～90的人數(shù)為8，分?jǐn)?shù)在90～100的人數(shù)為12，從受獎勵的20人中選3人在主會場服務(wù)，3人中成績在90分以上的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，
競賽成績在90～100分的人數(shù)為0.012×10×100=12，
競賽成績在80～90的人數(shù)為0.02×10×100=20，
故受獎勵分?jǐn)?shù)線在80～90之間，
設(shè)受獎勵分?jǐn)?shù)線為x，則（90-x）×0.02+0.012×10=0.20，解得x=86，
故受獎勵分?jǐn)?shù)線為86…（6分）
（2）由（1）知，受獎勵的20人中，分?jǐn)?shù)在86～90的人數(shù)為8，
分?jǐn)?shù)在90～100的人數(shù)為12，
故從受獎勵的20人中選3人在主會場服務(wù)，3人中成績在90分以上的人數(shù)ξ的可能取值為0，1，2，3，…（7分）
故$P（{ξ=0}）=\frac{C_8^3}{{C_{20}^3}}=\frac{14}{285}，P（{ξ=1}）=\frac{{C_{12}^1C_8^2}}{{C_{20}^3}}=\frac{28}{95}，P（{ξ=2}）=\frac{{C_{12}^2C_8^1}}{{C_{20}^3}}=\frac{44}{95}，P（{ξ=3}）=\frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}}=\frac{11}{57}$，
故ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{14}{285}$	$\frac{28}{95}$	$\frac{44}{95}$	$\frac{11}{57}$

…（11分）
$Eξ=0×\frac{14}{285}+1×\frac{28}{95}+2×\frac{44}{95}+3×\frac{11}{57}=1.8$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型機(jī)變量概率分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．