Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx+c在點（1，f（1））處的切線方程為2x-y-2=0．
（1）求實數(shù)b、c的值；
（2）求函數(shù)g（x）=（f（x）-x³）e^x在區(qū)間[t，t+1]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意可得f（1）=0，f′（x）=3x²+b，從而可得

f(1)=1+b+c=0 f′(1)=3+b=2

，從而解實數(shù)b、c的值；
（2）化簡g（x）=（f（x）-x³）e^x=（x³-x-x³）e^x=-xe^x，g′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1）；討論函數(shù)g（x）在區(qū)間[t，t+1]上的單調(diào)性，從而求最大值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+bx+c，f′（x）=3x²+b；
由題意，2×1-f（1）-2=0，
則f（1）=0；
從而可得，

f(1)=1+b+c=0 f′(1)=3+b=2

，
解得，b=-1，c=0；
（2）g（x）=（f（x）-x³）e^x=（x³-x-x³）e^x=-xe^x，
g′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1）；
①當(dāng)t+1＜-1，即t＜-2時，g′（x）＞0；
故g_max（x）=g（t+1）=-（t+1）e^t+1；
②t≤-1≤t+1，即-2≤t≤-1時，
g（x）先增后減，
g_max（x）=g（-1）=e^-1；
③當(dāng)t＞-1時，g′（x）＜0，
g_max（x）=g（t）=-te^t．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想，屬于中檔題．