Question

9．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥側(cè)面BB₁C₁C，且側(cè)面AA₁B₁B為正方形，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，∠BB₁C₁=60°．
（1）求證：B₁C⊥AC₁；
（2）若點(diǎn)E是B₁C的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AA₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC．

Answer 1

分析 考察空間立體幾何線面平行的判定與線面垂直的性質(zhì)．
第1題利用線面垂直的基本判定定理來證明B₁C⊥平面ABC1，從而得到B₁C⊥AC₁；
第2題充分利用三角形中位線，構(gòu)造平行四邊形等方法來證明線面平行，關(guān)鍵是要證明四邊形GEFA為平行四邊形．

解答 證明：（1）連接BC₁，在正方形ABB₁A₁中，AB⊥BB₁．
因?yàn)槠矫鍭A₁B₁B⊥平面BB₁C₁C，平面AA₁B₁B∩平面BB₁C₁C=BB₁，AB?平面ABB₁A₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C．
因?yàn)锽₁C?平面BB₁C₁C，所以AB⊥B₁C．
在菱形BB₁C₁C中，BC₁⊥B₁C．
因?yàn)锽C₁?平面ABC₁，AB?平面ABC₁．
BC₁∩AB=B，所以B₁C⊥平面ABC₁．故得證：B₁C⊥AC₁．
（2）取BC的中點(diǎn)G，連接GE，GA．因?yàn)镋是B₁C的中點(diǎn)，
所以GE∥BB₁，且GE=$\frac{1}{2}$BB₁．
因?yàn)镕是AA₁的中點(diǎn)，所以AF=$\frac{1}{2}$AA₁．
在正方形ABB₁A₁中，AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁．
所以GE∥AF，且GE=AF
所以四邊形GEFA為平行四邊形，所以EF∥GA．
因?yàn)镋F?平面ABC，GA?平面ABC，所以EF∥平面ABC．

點(diǎn)評 構(gòu)造平行四邊形來證明線面平行，是高中階段證明的線面平行的一種常用方法．