【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形， ， ， 為等邊三角形， .

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角大小的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2) 二面角大小的余弦值為.

【解析】試題分析：（1）欲證面面垂直，即證線面垂直；（2）以為軸， 為軸，過點與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標，平面的法向量，平面的法向量，從而得到二面角大小的余弦值.

試題解析：

（1)如圖取的中點，連接，依題，

所以四邊形是平行四邊形，

所以.因為是中點，

所以，故，

所以為等邊三角形，所以，

因為，所以

所以平行四邊形為菱形，

所以，所以，即，又已知，所以平面，

平面，所以平面 平面.

(2)由（1)知， 平面，平面 平面，所以如圖，以為軸， 為軸，過點與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標.設(shè)，則， ，所以，

所以.設(shè)平面的法向量，則

，令，則，所以.

同理可得平面的法向量，所以，

所以二面角大小的余弦值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，點， 是橢圓上的動點.

（Ⅰ）若直線與橢圓相切，求點的坐標；

（Ⅱ）若在軸的右側(cè)，以為底邊的等腰的頂點在軸上，求四邊形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2017年《詩詞大會》火爆熒屏，某校為此舉辦了一場主題為“愛詩詞、愛祖國”的詩詞知識競賽，從參賽的全體學生中抽出60人的成績（滿分100分）作為樣本.對這60名學生的成績進行統(tǒng)計，并按， ， 分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）若同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表，估計參加這次知識競賽的學生的平均成績；

（Ⅱ）估計參加這次知識競賽的學生成績的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（Ⅲ）若規(guī)定80分以上（含80分）為優(yōu)秀，用頻率估計概率，從全體參賽學生中隨機抽取3名，記其中成績優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列與期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=AD=2，DE=1．

（1）求證：BC∥EF；
（2）求三棱錐B﹣ADE的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是共享經(jīng)濟的一種新形態(tài).一個共享單車企業(yè)在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數(shù)量（單位：千輛）之間的關(guān)系”進行調(diào)查研究，在調(diào)查過程中進行了統(tǒng)計，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表：

租用單車數(shù)量（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲： ，方程乙： .

(1)為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計算結(jié)果精確到0.1)(備注: ,稱為相應(yīng)于點的殘差(也叫隨機誤差));

租用單車數(shù)量 (千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本 (元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計值

2.4

2.1

1.6

殘差

0

-0.1

0.1

模型乙

估計值

2.3

2

1.9

殘差

0.1

0

0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.

(2)這個公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應(yīng)求，于是該公司研究是否增加投放.根據(jù)市場調(diào)查，這個城市投放8千輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.6，0.4；投放1萬輛時，該公司平均一輛單車一天能收入10元，6元收入的概率分別為0.4，0.6.問該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入-成本）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則 + 的最小值為（ ）
A.4
B.
C.1
D.2

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【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，1），對任意x，y∈（﹣1，1），有f（x）+f（y）=f（ ）．且當x＜0時，f（x）＞0．
（1）驗證函數(shù)f（x）=lg 是否滿足這些條件；
（2）若f（ ）=1，f（ ）=2，且|a|＜1，|b|＜1，求f（a），f（b）的值．
（3）若f（﹣ ）=1，試解關(guān)于x的方程f（x）=﹣ ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離小于1的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1．

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若M是PC的中點，求二面角M﹣AD﹣C的大小．

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