Question

已知函數(shù)f（x）=（x-k）²e

x

k

，求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：先求導f′（x）=2（x-k）e

x

k

+

1

k

（x-k）²e

x

k

=

1

k

（x-k）（x+k）e

x

k

，再討論以確定導數(shù)的正負，從而確定函數(shù)的單調性．

解答： 解：∵f（x）=（x-k）²e

x

k

，
∴f′（x）=2（x-k）e

x

k

+

1

k

（x-k）²e

x

k

=

1

k

（x-k）（x+k）e

x

k

，
①當k＜0時，

1

k

＜0，e

x

k

＞0；
當x＜k或x＞-k時，f′（x）＜0；
當k＜x＜-k時，f′（x）＞0；
故f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，k），（-k，+∞）；
單調增區(qū)間為（k，-k）；
②當k＞0時，

1

k

＞0，e

x

k

＞0；
當x＞k或x＜-k時，f′（x）＞0；
當-k＜x＜k時，f′（x）＜0；
故f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，k），（-k，+∞）；
單調減區(qū)間為（k，-k）．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用，屬于基礎題．