Question

6．已知函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）（0＜a＜1）．
（1）求函數(shù)的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若f^-1（x²-2）＞f（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令a-a^x＞0，結(jié)合0＜a＜1可得函數(shù)的定義域，進(jìn)而求出真數(shù)的范圍，可得函數(shù)的值域；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的原則，分析內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性，可得緒論；
（3）求出函數(shù)的反函數(shù)，可將原不等式化為1＜x²-2＜x，解得答案．

解答 解：（1）令a-a^x＞0，則a＞a^x，
∵0＜a＜1，
∴x＞1，
即函數(shù)的定義域為（1，+∞）；
則t=a-a^x∈（0，a），
故函數(shù)的值域為（1，+∞）；
（2）∵0＜a＜1，
∴t=a-a^x為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x）為減函數(shù)，
（3）∵f（x）=log_a（a-a^x）
∴f^-1（x）=log_a（a-a^x）
若f^-1（x²-2）＞f（x），
則1＜x²-2＜x，
解得：x∈（$\sqrt{3}$，2）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．