Question

【題目】已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0），
（1）當(dāng)a=1，b=2，若|f（x）|﹣2=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（2）設(shè)方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)根為x1 ， x2 ， 且滿(mǎn)足0＜t＜x1 ， x2﹣x1＞ ，試判斷f（t）與x1的大小，并給出理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵當(dāng)a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+c=（x+1）2+c﹣1

∴﹣2＜c﹣1＜2

∴﹣1＜c＜3

（2）解：方程f（x）=x，即ax2+（b﹣1）x+c=0，

由題意得 ，

（1）

∵ ，

∴ax1+ax2=1﹣b，即ax1+b=1﹣ax2代入 （1）得

∵0＜t＜x1，∴t﹣x1＜0，∵0＜t＜x1，

∴at﹣ax2+1＜ax1﹣ax2+1，

∵ ，∴ax1﹣ax2＜﹣1，即at﹣ax2+1＜ax1﹣ax2+1＜0．

所以f（t）＞x1．

【解析】（1）由f（x）的解析式得到最小值c﹣1，由|f（x）|﹣2=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，得到不等式﹣2＜c﹣1＜2，由此得到c的取值范圍．（2）由方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)根為x1 ， x2 ， 由韋達(dá)定理得到兩個(gè)根的差的范圍，用做差來(lái)判斷兩數(shù)的大�。�
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．