Question

8．古有“文王拘而演周易”，后經(jīng)流傳，人們常用卦象來指導(dǎo)生活，而成卦的方式很多，其中一種方式就是用金錢成卦．具體做法就是拋擲三枚不同的硬幣A、B、C，硬幣落地后只能正面朝上或反面朝上，其中硬幣A正面朝上的概率為$\frac{1}{2}$，硬幣B正面朝上的概率為$\frac{1}{3}$，硬幣C正面朝上的概率為t（0＜t＜1），設(shè)ξ表示正面朝上的硬幣枚數(shù)．
（Ⅰ）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）當(dāng)a_n=（2n-1）cos（$\frac{6nπ}{5+6t}$E（ξ）），（n∈N^*），求數(shù)列{|a_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，再列出ξ的分布列、求出數(shù)學(xué)期望Eξ；（Ⅱ）由（I）和題意化簡a_n，即可求出|a_n|，由等差數(shù)列的前n項和公式求出S_n．

解答 解：（Ⅰ）由題意得ξ的可能取值為0，1，2，3------1，
$P（ξ=0）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}（1-t）=\frac{2-2t}{6}$-------2
$P（ξ=1）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}（1-t）+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}（1-t）+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}t=\frac{3-t}{6}$--------3
$P（ξ=2）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}（1-t）+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}t+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}t$=$\frac{1+2t}{6}$-------4
$P（ξ=3）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}t=\frac{1}{6}t$-------5，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1-t}{3}$	$\frac{3-t}{6}$	$\frac{1+2t}{6}$	$\frac{t}{6}$

-------6
E（ξ）=0×$\frac{1-t}{3}$+1×$\frac{3-t}{6}$+2×$\frac{1+2t}{6}$+3×$\frac{t}{6}$=$\frac{5+6t}{6}$-------7
（Ⅱ）由（I）得，a_n=（2n-1）cos（$\frac{6nπ}{5+6t}$E（ξ））
=$（2n-1）cos（\frac{6nπ}{5+6t}•\frac{5+6t}{6}）$
=（2n-1）cos（nπ）=（-1）ⁿ（2n-1）-----9，
∴|a_n|=2n-1，則${S_n}=\frac{n（1+2n-1）}{2}={n^2}$-------12

點評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，以及等差數(shù)列的前n項和公式，是中檔題，