Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+1）S_n=2n²+2n（n∈N^*），a₁=3，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=4n-1．

Answer 1

分析 由題意得到數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，得到S_n=n（2n+1）=2n²+n，即可得到S_n-1=2n²-4n+n+1，而a_n=S_n-S_n-1，問題得以解決．

解答 解：∵nS_n+1-（n+1）S_n=2n²+2n=2n（n+1），
∴$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=2，
∵a₁=3，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=3，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以3為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=3+2（n-1）=2n+1，
∴S_n=n（2n+1）=2n²+n
∴S_n-1=（n-1）（2n-1）=2n²-4n+n+1
∴a_n=S_n-S_n-1=4n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，成立，
故a_n=4n-1，
故答案為：4n-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式的求法，屬于中檔題．