Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{x+1}（{b＞0}）$，對任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，則實數(shù)b的取值范圍是$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x+1）^{2}-bx}{x（x+1）^{2}}$，
∵對任意x₁，x₂∈[1，2]，x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{f}^{′}（1）=\frac{4-b}{4}＜-1}\\{{f}^{′}（2）=\frac{9-2b}{18}＜-1}\end{array}\right.$，解得b＞$\frac{27}{2}$，
故答案為：$（{\frac{27}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的解法與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．