Question

20．如圖所示，PQ為⊙O的切線，切點(diǎn)為Q，割線PEF過圓心O，且QM=QN．
（Ⅰ）求證：PF•QN=PQ•NF；
（Ⅱ）若QP=QF=$\sqrt{3}$，求PF的長．

Answer 1

分析 （I）已知條件PQ為圓O的切線，聯(lián)系切線的性質(zhì)、弦切角定理，利用三角形相似，可得結(jié)論；
（II）求出∠PQF=120°，利用余弦定理求PF的長．

解答 （I）證明：因?yàn)镻Q為圓O的切線，所以∠PFQ=∠PQE．…（1分）
又因?yàn)镼M=QN，所以∠QNM=∠QMN，…（2分）
所以∠PNF=∠PMQ，…（3分）
所以△PNF∽△PMQ，…（4分）
所以$\frac{PF}{PQ}=\frac{NF}{MQ}=\frac{NF}{NQ}$，即PF•QN=PQ•NF；…（5分）
（II）解：因?yàn)镼P=QF=$\sqrt{3}$，所以∠PFQ=∠QPF．…（6分）
又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°，∠EQF=90°，…（7分）
所以∠PFQ=∠QPF=30°，∠PQF=120°，…（8分）
由余弦定理，得PF=$\sqrt{3+3-2•\sqrt{3}•\sqrt{3}•（-\frac{1}{2}）}$=3．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓周角定理、弦切角定理、余弦定理、圓的性質(zhì)，以及考查邏輯四維能力、推理理論能力、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力．