Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，分別列出式子化簡(jiǎn)、驗(yàn)證后求出a_n；
（2）由（1）化簡(jiǎn)$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂項(xiàng)相消法和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由題意得，S_n=n²（n∈N^*），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}-{（n-1）^2}=2n-1$，
當(dāng)n=1時(shí)也符合上式，則a_n=2n-1；
（2）由（1）得，$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴$\left.\begin{array}{l}{{T}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}}\end{array}\right.$
$\left.\begin{array}{l}{=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]}\end{array}\right.$
=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系式：${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{s}_{1}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了方程思想，化簡(jiǎn)、變形能力．