Question

7．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a₁=1，公差d≠0，其中a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)等比數(shù)列列方程解出公差d即可得出a_n；
（II）使用列項法求和．

解答 解：（I）∵a_n=1+d（n-1），∴a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∵a₂，a₅，a₁₄成等比數(shù)列，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍）或d=2．
∴a_n=2n-1．
（II）c_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)，列項法求和，屬于中檔題．