Question

1．函數(shù)設(shè)f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{ax+2}$（a∈R），若其定義域內(nèi)不存在實(shí)數(shù)x，使得f（x）≤0，則a的取值范圍是0≤a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由題意，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞0恒成立，由此進(jìn)行討論分析可求a的取值范圍．

解答 解：由題意，其定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞0，
f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{ax+2}$解析式要有意義，有$\left\{\begin{array}{l}{x≥-3}\\{ax+2≠0}\end{array}\right.$；
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{1}{2}$定義域?yàn)閇-3，+∞），滿足f（x）＞0恒成立；
②當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）=$\sqrt{x+3}$+$\frac{3}{2x+6}$定義域?yàn)椋?3，+∞），滿足f（x）＞0恒成立；
③當(dāng)a＜0時(shí)，在x略大于-$\frac{2}{a}$時(shí)，有f（x）＜0；
④a＞0時(shí)，有$\frac{1}{ax+2}$＞0在[-3，+∞）上恒成立，
∴ax+2＞0在[-3，+∞）上恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-3a+2＞0}\end{array}\right.$，
∴0＜a＜$\frac{2}{3}$．
綜上，答案為0≤a≤$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．