Question

16．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，a＞b＞0，f（a）=f（b），則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值等于（　�。�

• A． $2\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $2+\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出ab=1，然后利用基本不等式求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值．

解答 解：因?yàn)閒（x）=|lnx|，f（a）=f（b），所以|lna|=|lnb|，
即lna=±lnb，
又a＞b＞0，所以lna=-lnb，ab=1，
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}=\frac{{{{（a-b）}^2}+2ab}}{a-b}=（a-b）+\frac{2}{a-b}≥2\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)ab=1且$a-b=\frac{2}{a-b}$時(shí)取等號(hào)，
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$的最小值是$2\sqrt{2}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出ab=1是解決本題的關(guān)鍵，注意基本不等式成立的條件．