Question

17．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD四邊的中點．
（1）證明：EH∥平面BCD；
（2）若AC與BD成30°的角，且AC=6，BD=4，求四邊形EFGH的面積．

Answer 1

分析 （1）推導出 EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，從而EH∥FG，由此能證明EH∥平面BCD．
（2）推導出EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，EF=HG=3，EH=FG=2，∠EFG=30°，由此能求出四邊形EFGH的面積．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD四邊的中點．
∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，
∴EH∥FG，
∵EH?平面BCD，F(xiàn)G?平面BCD，
∴EH∥平面BCD．
解：（2）∵E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD四邊的中點，
AC與BD成30°的角，且AC=6，BD=4，
∴EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
且EF=HG=$\frac{1}{2}AC$=3，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴∠EFG=30°，
∴四邊形EFGH的面積=EF•FG•sin30°=3×2×sin30°=3．

點評 本題考查線面平行的證明，考查四邊形的面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．