Question

12．已知α∈（0，π），方程x²sinα+y²cosα=1，試表述當α變化時方程所表示的曲線形狀．

Answer 1

分析 根據(jù)sinα，cosα的符號，對角α分五類進行討論，由直線、圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體類型．

解答 解：當α≠90°時，∵x²sinα+y²cosα=1，∴$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{sinα}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{cosα}}=1$．
（1）當0°＜α＜45°時，0＜sinα＜cosα，曲線是焦點在X軸上的橢圓；（3分）
（2）當α=45°時，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，曲線是圓；（2分）
（3）當45°＜α＜90°時，sinα＞cosα＞0，曲線是焦點在Y軸上的橢圓；（3分）
（4）當α=90°時，方程為x=±1，曲線是兩條直線；（2分）
（5）90°＜α＜180°時，sinα＞0，cosα＜0，曲線是焦點在X軸上的雙曲線．（4分）

點評 本題考查了方程含有參數(shù)時討論表示的曲線問題，需要根據(jù)系數(shù)的符號進行分類討論，分別再由圓、橢圓和雙曲線的標準方程判斷對應曲線的具體形狀，考查了分類討論思想．