Question

16．定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b-a，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的長度d=（2-1）+（5-3）=3．用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R．設f（x）=[x]g{x}，g（x）=x-1，當0≤x≤k時，不等式f（x）＜g（x）的解集區(qū)間的長度為10，則 k=12．

Answer 1

分析 先化簡f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡f（x）＜g（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，3]時，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3時的解集的長度．然后推出不等式f（x）＜g（x）的解集區(qū)間的長度為10，k的值即可．

解答 解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1
不等式f（x）＜g（x）⇒[x]x-[x]²＜x-1即（[x]-1）x＜[x]²-1
當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當x∈[2，3]時，[x]=2，[x]-1=1＞0，上式可化為x＜[x]+1=3，∴x∈[2，3]；
當x∈[0，3）時，不等式不等式f（x）＜g（x）的解集區(qū)間的長度為：d=3-2=1；
同理，當x∈[3，4）時，不等式不等式f（x）＜g（x）的解集區(qū)間的長度為：d=4-2=2；
當0≤x≤k時，不等式f（x）＜g（x）的解集區(qū)間的長度為10，可得k-2=10，即k=12．
故答案為：12．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，同時考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉化思想，屬于中檔題