Question

13．已知正三棱錐P-ABC中E，F(xiàn)分別是AC，PC的中點，若EF⊥BF，AB=2，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積（　�。�

• A． 4π
• B． 6π
• C． 8π
• D． 12π

Answer 1

分析 由正三棱錐的性質、線面垂直的判定定理證明PA⊥平面PBC，可得以PA、PB、PC為從同一點P出發(fā)的正方體三條棱，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，利用正方體的體對角線是外接球的直徑，求出半徑，代入球的表面積求出答案．

解答 解：∵E、F分別是AC，PC的中點，∴EF∥PA，
∵P-ABC是正三棱錐，∴PA⊥BC（對棱垂直），
∴EF⊥BC，又EF⊥BF，且BF∩BC=B，
∴EF⊥平面PBC，∴PA⊥平面PBC，
∴∠APB=∠APC=∠BPC=90°，
以PA、PB、PC為從同一點P出發(fā)的正方體三條棱，
將此三棱錐補成正方體，如圖所示：
∵三棱錐和正方體有相同的外接球，
∴正方體的體對角線就是外接球的直徑，
又AB=2，∴PA=$\sqrt{2}$，∴2R=$\sqrt{3}$，則R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴三棱錐P-ABC的外接球的表面積為：4πR²=4π×${（\frac{\sqrt{6}}{2}）}^{2}$=6π，
故選B．

點評 本題考查了正三棱錐的性質、線面垂直的判定定理，以及球的表面積公式，幾何體外接球的表面積的求法，將正三棱錐還原為正方體是解題的關鍵．