Question

4．已知函數(shù)$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，x∈R$．
（Ⅰ）求該函數(shù)的周期和最大值；
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換可以得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式，然后求解求該函數(shù)的周期和最大值；
（Ⅱ）利用三角函數(shù)的圖形的變換原則，推出結(jié)果即可．

解答 （解：（Ⅰ）$y=sin\frac{x}{2}+\sqrt{3}cos\frac{x}{2}=2sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$…（3分）
所以，函數(shù)的周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$，函數(shù)的最大值為y_max=2．…（6分）．
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象上所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，可以得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象．
或?qū)⒃摵瘮?shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移$\frac{2π}{3}$個(gè)單位，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），可以得到y(tǒng)=sinx（x∈R）的圖象…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期和最大值，函數(shù)的圖象的平移和伸縮變換．基本知識(shí)的考查．