Question

如圖，設F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，P是拋物線上一點，Q為線段OF的垂直平分線上一點，且點Q到拋物線的準線l的距離為

3

2

．
（1）求拋物線的方程；
（2）設點M的坐標為（3，0），是否垂直于x軸的直線l′被以PM為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，求直線l′的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線方程求出焦點坐標，進一步得到Q的橫坐標，由

p

4

-(-

p

2

)=

3p

4

=

3

2

求得p的值，則拋物線方程可求；
（2）設MP的中點為S，垂直于x軸的直線方程為x=a，以MP為直徑的圓交l于A，B兩點，AB的中點為H，然后由圓當中的半徑、弦心距間的關系列式得到垂直于x軸的直線l′被以PM為直徑的圓截得的半弦長的平方等于（a-2）x-a²+3a，當a=2時所得值與x無關，為定值．

解答： 解：（1）由y²=2px（p＞0），得F（

p

2

，0），
∵Q為線段OF的垂直平分線上一點，
∴xQ=

p

4

，
由點Q到拋物線的準線l的距離為

3

2

，得

p

4

-(-

p

2

)=

3p

4

=

3

2

，
∴p=2．
則拋物線的方程為y²=4x；
（2）設MP的中點為S，垂直于x軸的直線方程為x=a，
以MP為直徑的圓交l于A，B兩點，AB的中點為H，
∵|AS|=

1

2

|MP|=

(x-3)2+y2

，
|SH|=|

x+3

2

-a|=

1

2

|x-2a+3|，
∴|AH|²=|AS|²-|SH|²=

1

4

[(x-3)2+y2]-

1

4

(x-2a+3)2
=

1

4

[(4a-8)x-4a2+12a]=（a-2）x-a²+3a，
令a=2，則對任意滿足條件的x，
都有|AH|²=-4+6=2（與x無關），
即|AB|=2

2

為定值．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，考查了直線與拋物線的關系，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．