Question

已知函數(shù)f（x）=2|e^x-e^a|-

ex

x

+ea，x∈(0，1]，a∈R
（1）當a≥1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a∈（0，1）時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由a≥1和x∈（0，1]可得e^x-e^a≤0，求得f(x)=3ea-2ex-

ex

x

，求導后由導函數(shù)大于0和導函數(shù)小于0求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由x的范圍寫出分段函數(shù)f（x），由（1）可知x∈（0，a]的單調(diào)性，再分析出x∈（a，1]上的單調(diào)性，然后分0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a＜1求得函數(shù)f（x）的最大值M（a）．

解答： 解：（1）當a≥1時，又x∈（0，1]，
∴e^x-e^a≤0恒成立，則f(x)=3ea-2ex-

ex

x

，
∴f′(x)=-2ex-

ex(x-1)

x2

=-

ex

x2

(2x2+x-1)，
當x＞

1

2

時，f'（x）＜0；
當0＜x＜

1

2

時，f'（x）＞0，又x∈（0，1]，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，1]；
（2）f(x)=

3ea-2ex- ex x ，x∈(0，a] 2ex- ex x -ea，x∈(a，1]

，
當x∈(a，1]，f(x)=2ex-

ex

x

-ea，
f′(x)=

ex

x2

(2x2-x+1)=

ex

x2

×[2(x-

1

4

)2+

7

8

]＞0，
∴x∈（a，1]時，f(x)=2ex-

ex

x

-ea單調(diào)遞增．
（i）當0＜a≤

1

2

時，f（x）在（0，a]單調(diào)遞增，在[a，1]上單調(diào)遞增，
則M（a）=f(x)max=f(1)=e-ea；
（ii）當

1

2

＜a＜1時，f（x）在(0，

1

2

]單調(diào)遞增，在(

1

2

，a)單調(diào)遞減，在[a，1]上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）的最大值在f（1）與f(

1

2

)中取到，
∵f(1)=e-ea，f(

1

2

)=3ea-4

e

，
由f(

1

2

)＞f（1），即3ea-4

e

＞e-ea，得a＞ln

4 e +e

4

，
∴當ln

4 e +e

4

＜a＜1時，f(

1

2

)＞f（1），M（a）=f(x)max=f(

1

2

)=3ea-4

e

；
當

1

2

＜a≤ln

4 e +e

4

時，f(

1

2

)≤f（1），M（a）=f(x)max=f(1)=e-ea．
綜上，M(a)=

e-ea，0＜a≤ln 4 e +e 4 3ea-4 e ，ln 4 e +e 4 ＜a＜1

．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，正確分類是解答該題的關鍵，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，是壓軸題．