Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，求f（x）的值域；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（4）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求得x的范圍得原函數(shù)的增區(qū)間，由導(dǎo)函數(shù)小于0求得x的范圍得原函數(shù)的減區(qū)間；
（2）由（1）可得f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值及端點(diǎn)值得值域；
（3）分離參數(shù)k，由（2）中函數(shù)的最小值得答案；
（4）由（1）可得，若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，-2≤f（x₂）≤2，從而求得-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，結(jié)論得證．

解答 （1）解：由已知f（x）=x³-3x，得f′（x）=3x²-3，
由 f′（x）=3x²-3＞0，得x＞1或x＜-1，由 f′（x）=3x²-3＜0，得-1＜x＜1．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；
（2）解：由（1）可知，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，x∈[1，2]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f（1）=-2．
又∵f（0）=0，f（2）=2，∴f（x）的最大值為f（2）=2．
∴當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，2]；
（3）解：關(guān)于x的不等式f（x）-k≥0（0≤x≤2）恒成立，
即當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，k≤f（x）恒成立，k應(yīng)小于等于函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值，
∴k≤-2；
（4）證明：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
∴若x₁，x₂∈[-1，1]，有f（1）≤f（x₁）≤f（-1），即-2≤f（x₁）≤2，
同理，-2≤f（x₂）≤2，
∴-4≤f（x₁）-f（x₂）≤4，即：|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．