Question

15．已知點P是直線l：y=x+2與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的一個公共點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為該橢圓的左右焦點，設|PF₁|+|PF₂|取得最小值時橢圓為C．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程及離心率；
（Ⅱ）已知A，B為橢圓C上關于y軸對稱的兩點，Q是橢圓C上異于A，B的任意一點，直線QA，QB分別與y軸交于點M（0，m），N（0，n），試判斷mn是否為定值；如果為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，由此利用韋達定理、橢圓定義，結合已知條件能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），由已知求出m=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，由此能求出mn為定值1．

解答 解：（Ⅰ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（a²+1）x²+4a²x+3a²=0，
∵直線y=x+2與橢圓有公共點，
∴△=16a⁴-4（a²+1）×3a²≥0，解得a²≥3，∴a$≥\sqrt{3}$，
又由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|=2a，
故當a=$\sqrt{3}$時，|PF₁|+|PF₂|取得最小值，
此時橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（-x₁，y₁），Q（x₀，y₀），且M（0，m），N（0，n），
∵k_QA=k_QM，∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$，
即${y}_{0}-m=\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
∴m=${y}_{0}-\frac{{x}_{0}（{y}_{0}-{y}_{1}）}{{x}_{0}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$，
同理，得n=$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{x}_{0}y-{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{x}_{0}{y}_{1}+{x}_{1}{y}_{0}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$，
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$+${{y}_{0}}^{2}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}+{{y}_{1}}^{2}=1$，
∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}$，${{y}_{1}}^{2}=1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$，
∴mn=$\frac{{{x}_{0}}^{2}（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}）-{{x}_{1}}^{2}（1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=1，
∴mn為定值1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩實數(shù)值的乘積是否為定值的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、橢圓方程的性質(zhì)的合理運用．