Question

8．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}x&y\\ 1&2\end{array}}]，B=[{\begin{array}{l}{-1}&m\\{-2}&m\end{array}}]$，向量$α=[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$，x、y∈（0，+∞），若Aα=Bα，求xy的最大值．

Answer 1

分析 利用矩陣的乘法法則，結(jié)合矩陣相等，求出2x+3y=10，利用基本不等式，求出xy的最大值．

解答 解：由題意，Aα=Bα，
∴$[\begin{array}{l}{2x+3y}\\{2+6}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2+3m}\\{-4+3m}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=-2+3m}\\{8=-4+3m}\end{array}\right.$，
∴m=4，2x+3y=10，
∵x、y∈（0，+∞），
∴2x+3y=10≥2$\sqrt{6xy}$，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)取等號(hào)，
∴xy≤$\frac{25}{6}$，
∴xy的最大值為$\frac{25}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查xy的最大值，考查矩陣的乘法法則、矩陣相等，考查基本不等式是運(yùn)用，屬于中檔題．