Question

（本小題滿分14分）如圖，四棱柱中，?底面ABCD，且. 梯形ABCD的面積為6，且AD//BC，AD=2BC，. 平面與交于點(diǎn)E.

（1）證明：EC//；

（2）求三棱錐的體積；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

(1)證明見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）解決立體幾何的有關(guān)問題，空間想象能力是非常重要的，但新舊知識(shí)的遷移融合也很重要，在平面幾何的基礎(chǔ)上，把某些空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，有時(shí)很方便；（2）直線與平面平行、垂直及平面與平面平行、垂直的判定定理、性質(zhì)定理的應(yīng)用時(shí)，都是轉(zhuǎn)化到平面中進(jìn)行的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想；（3）證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高，中線和頂角的角平分線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形等等；(4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106222189051755/SYS201503210622466415199391_DA/SYS201503210622466415199391_DA.003.png">，，

，所以. （1分）

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106222189051755/SYS201503210622466415199391_DA/SYS201503210622466415199391_DA.007.png">，，

，所以. （2分）

又，，

，所以. （3分）

又，，

所以EC//. （4分）

（2）【解析】
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106222189051755/SYS201503210622466415199391_DA/SYS201503210622466415199391_DA.018.png">，BC//AD，AD=2BC，所以.

（6分）

所以. （8分）

（3）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

（9分）

設(shè)，BC=a，則AD=2a.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032106222189051755/SYS201503210622466415199391_DA/SYS201503210622466415199391_DA.024.png">，所以.（10分）

所以，，

所以，. （11分）

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

由，得，所以.（12分）

又平面ABCD的一個(gè)法向量， （13分）

所以，所以二面角的大小為. （14分）

考點(diǎn)：1、直線與直線平行的判定；2、求三棱錐的體積；3、二面角的大小.