Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}∈{N^*}$，且${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$．記集合$M=\left\{{{a_n}\left|{n∈{N^*}}\right.}\right\}$．
（1）若p=90，a₂=6，寫出數(shù)列{a_n}的前7項；
（2）若p=18，集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由遞推關(guān)系：6=a₂=2a₁，解得a₁，進而得出．
（2）集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，由a_n+1=${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=18．可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)．

解答 （1）解：∵${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=90，a₂=6，
∴6=a₂=2a₁，解得a₁=3．
∴a₃=2a₂=12，a₄=2a₃=24，a₅=2a₄=48，a₆=2a₅=96，a₇=2a₆-6=186．
（2）證明：∵集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，不妨設(shè)a_k是3的倍數(shù)，
由a_n+1=${a_{n+1}}=\left\{\begin{array}{l}2{a_n}，{a_n}≤p\\ 2{a_n}-6，{a_n}＞p\end{array}\right.（{n=1，2，…}）$，p=18．可歸納證明對任意n≥k，a_n是3的倍數(shù)．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍數(shù)；
如果k＞1，∵a_k=2a_k-1，或a_k=2a_k-1-6，∴2a_k-1是3的倍數(shù)；于是a_k-1是3的倍數(shù)；
類似可得，a_k-2，…，a₁都是3的倍數(shù)；
從而對任意n≥1，a_n是3的倍數(shù)；
綜上，若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，則集合M的所有元素都是3的倍數(shù)

點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想及推理、運算能力，屬于難題．