Question

7．已知拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，則直線(xiàn)y=x+1截拋物線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)等于8．

Answer 1

分析 先確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定直線(xiàn)y=x+1過(guò)焦點(diǎn)F，進(jìn)而利用拋物線(xiàn)的定義，可計(jì)算弦長(zhǎng)．

解答 解：由題設(shè)拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，
∴p=2，
∴拋物線(xiàn)方程為x²=4y，焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線(xiàn)為y=-1，
∴直線(xiàn)y=x+1過(guò)焦點(diǎn)F，
聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，消去x，整理得y²-6y+1=0
設(shè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，則y₁+y₂=6，
∴直線(xiàn)y=x+1截拋物線(xiàn)所得的弦長(zhǎng)l=y₁+y₂+p=6+2=8
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線(xiàn)的定義、方程與性質(zhì)，考查拋物線(xiàn)中弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．