Question

17．設(shè)直線l與拋物線C：y²=4x交于A，B兩點(diǎn)（兩點(diǎn)可以重合），已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA和OB的傾斜角互余，則拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離的取值范圍是（0，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由題意，設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=$\frac{1}{k}$x，與拋物線方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，可得直線l的方程，求出拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離，利用基本不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，設(shè)直線OA的方程為y=kx，則直線OB的方程為y=$\frac{1}{k}$x．
y=kx與拋物線C：y²=4x聯(lián)立，可得A（$\frac{4}{{k}^{2}}$，$\frac{4}{k}$），
y=$\frac{1}{k}$x與拋物線C：y²=4x聯(lián)立，可得B（4k²，4k），
∴直線l的斜率=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$，
∴直線l的方程為y-4k=$\frac{k}{{k}^{2}+1}$（x-4k²），即kx-（k²+1）y+4k=0，
∴拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離d=$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+（{k}^{2}+1）^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+3}}$≤$\sqrt{5}$，
∴拋物線C的焦點(diǎn)F到直線l的距離的取值范圍是（0，$\sqrt{5}$]．
故答案為：（0，$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．