Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0（O為原點(diǎn)）且|PF₁|=

3

|PF₂|，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  5 +1

  2

• B、

  5

  -1
• C、

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：取PF₂的中點(diǎn)A，利用

OP

+

OF2

=2

OA

，可得

OA

⊥

F2P

，從而可得PF₁⊥PF₂，利用雙曲線的定義及勾股定理，由離心率公式計(jì)算可得結(jié)論．

解答： 解：取PF₂的中點(diǎn)A，則

OP

+

OF2

=2

OA

，
∵（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0，∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，
∵O是F₁F₂的中點(diǎn)，
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=

3

|PF₂|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴c=|PF₂|，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查雙曲線的定義，利用向量確定PF₁⊥PF₂是關(guān)鍵．