Question

9．已知{a_n}是各項均為正數的等差數列，公差為2．對任意的n∈N^*，b_n是a_n和a_n+1的等比中項．設c_n=b²_n+1-b_n²，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數列{c_n}是等差數列．
（Ⅱ）若c₁=16，求數列a_n的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得${_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，結合c_n=b²_n+1-b_n²，直接利用等差數列的定義證明數列{c_n}是等差數列；
（Ⅱ）由c₁=16列式求得a₁，再代入等差數列的通項公式求得數列a_n的通項公式．

解答 （Ⅰ）證明：由題意，${_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}$，又c_n=b²_n+1-b_n²，
∴${c}_{n}-{c}_{n-1}=（{_{n+1}}^{2}-{_{n}}^{2}）-（{_{n}}^{2}-{_{n-1}}^{2}）$=（a_n+1a_n+2-a_na_n+1）-（a_na_n+1-a_n-1a_n）
=a_n+1（a_n+2-a_n）-a_n（a_n+1-a_n-1）=${a}_{n+1}•2d-{a}_{n}•2d=2d（{a}_{n+1}-{a}_{n}）=255sjghf^{2}=8$．
∴數列{c_n}是等差數列；
（Ⅱ）解：∵c₁=16，∴${_{2}}^{2}-{_{1}}^{2}=8$，
∴a₂a₃-a₁a₂=16，即a₂（a₃-a₁）=16，（a₁+d）•2d=16，解得a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了等差數列通項公式的求法，是中檔題．