Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，b_n=2ⁿa_n，c_n=2a_n+1-a_n（n∈N^*）則（　�。�

• A． {b_n}是等差數(shù)列，{c_n}是等比數(shù)列
• B． {b_n}是等比數(shù)列，{c_n}是等差數(shù)列
• C． {b_n}是等差數(shù)列，{c_n}是等差數(shù)列
• D． {b_n}是等比數(shù)列，{c_n}是等比數(shù)列

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，a₁=-a₁-1+2，解得a₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和${S_n}=-{a_n}-{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}+2$，
∴a₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化為：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n}$，
變形為：2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1，
又b_n=2ⁿa_n，
∴b_n-b_n-1=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
另一方面：由${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}+（\frac{1}{2}）^{n}$，
可得2a_n-a_n-1=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
又c_n=2a_n+1-a_n（n∈N^*），則c_n=$\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．