Question

20．設(shè)M（x₀，y₀）是橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，A，B是其左，右頂點(diǎn)，2$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=$x_0^2$-a²，則離心率e=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由題意求得A，B的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BM}$的坐標(biāo)，代入2$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=${{x}_{0}}^{2}$-a²，可得$（{a}^{2}-2^{2}）{{x}_{0}}^{2}={a}^{2}（{a}^{2}-2^{2}）$，即a²-2b²=0，結(jié)合隱含條件求得答案．

解答 解：由題意可知，A（-a，0），B（a，0），又M（x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{AM}=（{x}_{0}+a，{y}_{0}），\overrightarrow{BM}=（{x}_{0}-a，{y}_{0}）$，
則2$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BM}$=2（x₀+a，y₀）•（x₀-a，y₀）=$2{{x}_{0}}^{2}-2{a}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}={{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}$，
∴${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}={a}^{2}$，①
又${{y}_{0}}^{2}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{{x}_{0}}^{2}）$，②
聯(lián)立①②得：$（{a}^{2}-2^{2}）{{x}_{0}}^{2}={a}^{2}（{a}^{2}-2^{2}）$，
∴a²-2b²=0，即a²=2（a²-c²）=2a²-2c²，解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題．