Question

12．如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求三棱錐B-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得出AE⊥PA，由△ABC是等邊三角形得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；
（2）由AE⊥平面PAD可知∠EHA為直線EH與平面PAD所成的角，故而當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大，求出此時(shí)PA的長(zhǎng)，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD是等邊三角形，又E為BC的中點(diǎn)，
∴∠EAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠EAD=90°，即AE⊥AD．
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（2）由（1）得AE⊥平面PAD，
∴∠EHA為直線EH與平面PAD所成的角．
∴tan∠EHA=$\frac{AE}{AH}$=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$．
∴當(dāng)AH最短時(shí)，tan∠EHA取得最大值$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，tan∠EHA=$\frac{\sqrt{3}}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AH=$\sqrt{2}$．又AD=2，∴∠ADH=45°，
∴PA=AD=2，
∴V_B-AEF=V_F-ABE=$\frac{1}{2}{V}_{P-ABE}$=$\frac{1}{6}{S}_{△ABE}•PA$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．