若f(x)滿足x2f′(x)-2xf(x)=x3ex,f(2)=-2e2.則x>0時,f(x)( 。
A、有極大值,無極小值
B、有極小值,無極大值
C、既有極大值,又有極小值
D、既無極大值,也無極小值
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導數(shù)的綜合應用
分析:根據(jù)題意,利用導數(shù)的運算法則,構(gòu)造函數(shù)F(x),確定函數(shù)f(x)的解析式,求出f′(x)=0的點,從而確定它是極小值點.
解答: 解:∵x2f′(x)-2xf(x)=x3ex,
設F(x)=
f(x)
x2

∴F′(x)=
x2f(x)-2xf(x)
x4
=
x3ex
x4
=
ex
x
;
∴x2f′(x)=x3ex+2xf(x)=x3ex+2x3F(x),
∴f′(x)=xex+2xF(x);
∴f′(2)=2e2+2×2F(2)=2e2+4×(-
1
2
e2)=0,
∴x=2是函數(shù)f(x)的一個極值點;
設g(x)=f′(x)=xex+2xF(x),
∴g′(x)=ex+xex+2F(x)+2xF′(x)
=ex+xex+2F(x)+2x•
ex
x
=3ex+xex+2F(x),
∴g′(2)=3e2+2e2+2×(-
1
2
)e2=4e2>0,
x=2是函數(shù)f(x)的極小值點;
∴x>0時,f(x)有極小值,無極大值.
故選:B.
點評:本題考查了函數(shù)導數(shù)的綜合應用問題,解題時利用導數(shù)的運算法則,適當?shù)貥?gòu)造函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點,是難題.
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