Question

6．在數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a_n•a_n+1=（$\frac{1}{4}$）^n-2，則滿足不等式$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$＜2016的正整數(shù)n的最大值為5．

Answer 1

分析 由遞推式可得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均組成公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式分別計算奇數(shù)項(xiàng)倒數(shù)之和與偶數(shù)項(xiàng)倒數(shù)之和，得出答案．

解答 解：∵a_n•a_n+1=（$\frac{1}{4}$）^n-2，
∴a_n+1•a_n+2=（$\frac{1}{4}$）^n-1．
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{（\frac{1}{4}）^{n-1}}{（\frac{1}{4}）^{n-2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均組成公比為$\frac{1}{4}$的等比數(shù)列．
∵a₁=1，a₂=4，
∴{$\frac{1}{{a}_{2n-1}}$}是以1為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
{$\frac{1}{{a}_{2n}}$}是以$\frac{1}{4}$為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{1-{4}^{n+1}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$．
$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{12}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n}}$+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$=$\frac{{4}^{n+1}-1}{3}$+$\frac{{4}^{n}-1}{12}$=$\frac{{4}^{n+2}+{4}^{n}-5}{12}$．
∴$\frac{{4}^{n+2}+{4}^{n}-5}{12}$＜2016，解得4ⁿ＜$\frac{2016×12+5}{17}$≈1423.4．
∵4⁵=1024，4⁶=4096．
∴n的最大正整數(shù)解為5．
故答案為5．

點(diǎn)評 本題考查了等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．