Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，給出下列結(jié)論：
①A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
②必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則△ABC是鈍角三角形；
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}$=$\frac{{cos\frac{B}{2}}}$=$\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①由正弦定理進(jìn)行判斷，
②根據(jù)兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，
③利用特殊值法進(jìn)行排除，
④利用正弦定理以及三角函數(shù)的倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷．

解答 解：①A＞B＞C，則a＞b＞c，由正弦定理得則sinA＞sinB＞sinC；故①正確，
②當(dāng)C$≠\frac{π}{2}$或$A≠\frac{π}{2}$，$B≠\frac{π}{2}$時(shí)，-tanC=tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanA•tanC}$，則tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，
當(dāng)A，B，C，有一個(gè)為$\frac{π}{2}$時(shí)，tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC無(wú)意義，因此不正確；故②錯(cuò)誤；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，則當(dāng)A=B=C=$\frac{π}{3}$時(shí)，滿足sin²A+sin²B＞sin²C，但△ABC是鈍角三角形；故③錯(cuò)誤，
④若$\frac{a}{{cos\frac{A}{2}}}$=$\frac{{cos\frac{B}{2}}}$=$\frac{c}{{cos\frac{C}{2}}}$，則$\frac{sinA}{cos\frac{A}{2}}=\frac{sinB}{cos\frac{B}{2}}=\frac{sinC}{cos\frac{C}{2}}$，即$\frac{2sin\frac{A}{2}cos\frac{A}{2}}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{2sin\frac{B}{2}cos\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}}{cos\frac{C}{2}}$，
即sin$\frac{A}{2}$=sin$\frac{B}{2}$=sin$\frac{C}{2}$，則在（0，$\frac{π}{2}$）上函數(shù)y=sinx為增函數(shù)，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{B}{2}$=$\frac{C}{2}$，則A=B=C，則△ABC是等邊三角形，故④正確，
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷，涉及正弦定理、兩角和差的正切公式、解三角形的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．