Question

20．已知函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象如圖所示，點A（-$\frac{π}{6}$，0）、B、C是該圖象與x軸的交點，過點B作直線交該圖象于D、E兩點，點F（$\frac{7π}{12}$，0）是f（x）的圖象的最高點在x軸上的射影，則（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{EA}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）的值是（　　）

• A． 2π²
• B． π²
• C． 2
• D． 以上答案均不正確

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象，利用周期性求得ω，可得C、B的坐標，再根據(jù)線段EF關于點B對稱，利用兩個向量的加減法及其幾何意義求得要求式子的值．

解答 解：根據(jù)函數(shù)y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分圖象可得$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{7π}{12}$-（-$\frac{π}{6}$），∴ω=2．
∵2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=π，∴φ=$\frac{4π}{3}$，函數(shù)y=2sin（2x+$\frac{4π}{3}$），可得C（$\frac{5π}{6}$，0），
故AC的中點B（$\frac{π}{3}$，0）．
由題意可得線段EF關于點B對稱，則（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{EA}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AE}$）•（ω$\overrightarrow{AC}$）
=2$\overrightarrow{AB}$•2$\overrightarrow{AC}$=4|AB|•|AC|=4•$\frac{T}{2}$•T=2T²=2•${（\frac{2π}{2}）}^{2}$=2π²，
故選：A．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．