Question

【題目】已知數(shù)列滿足（，且），且，設(shè)，，數(shù)列滿足.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）對(duì)于任意，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）(3) .

【解析】

（1）將式子寫為：得證，再通過等比數(shù)列公式得到的通項(xiàng)公式.

（2）根據(jù)（1）得到進(jìn)而得到數(shù)列通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法得到前n項(xiàng)和.

（3）首先判斷數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算其最大值，轉(zhuǎn)換為二次不等式恒成立，將 代入不等式，計(jì)算得到答案.

（1）因?yàn)?/span>，

所以，，

所以是等比數(shù)列，其中首項(xiàng)是，公比為，

所以，.

（2），

所以，

由（1）知，，又，

所以.

所以，

所以兩式相減得

.

所以.

（3）

，所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即，

所以當(dāng)或時(shí)，取最大值是.

只需，

即對(duì)于任意恒成立，即

所以.