Question

15．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=2，AC=2$\sqrt{2}$，M是CC₁的中點(diǎn)，P是AM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC₁上，且BQ=$\frac{1}{3}$QC₁．
（1）證明：PQ∥平面ABC；
（2）若直線(xiàn)BA₁與平面ABM成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{15}}{15}$，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB=a，BC=b，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則$\overrightarrow{B{B}_{1}}$為平面ABC的一個(gè)法向量，求出$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$的坐標(biāo)，通過(guò)證明$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0得出PQ∥平面ABC；
（2）求出$\overrightarrow{B{A}_{1}}$和平面ABM的法向量$\overrightarrow{n}$，令|cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$得出a，b的關(guān)系，結(jié)合a²+b²=8得出a，b的值，從而確定∠BAC的大�。�

解答 證明：（1）分別以BA，BC，BB₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖所示：
設(shè)AB=a，BC=b，則A（a，0，0），B（0，0，0），M（0，b，1），C₁（0，b，2）．
∴P（$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$，$\frac{1}{2}$），Q（0，$\frac{4}$，$\frac{1}{2}$）．∴$\overrightarrow{PQ}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{4}$，0）．
∵BB₁⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2）為平面ABC的一個(gè)法向量．
∵$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，PQ?平面ABC，
∴PQ∥平面ABC．
（2）A₁（a，0，2），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（a，0，2），$\overrightarrow{BA}$=（a，0，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，b，1），
設(shè)平面ABM的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax=0}\\{by+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{n}$=（0，-$\frac{1}$，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{A}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{A}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4}\sqrt{\frac{1}{^{2}}+1}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．
∴（a²+4）（$\frac{1}{^{2}}+1$）=15．
∵AC=2$\sqrt{2}$，∴a²=8-b²．∴（12-b²）（$\frac{1}{^{2}}+1$）=15．
解得b=$\sqrt{2}$．∴sin∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠BAC=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)面平行的判定，空間向量的應(yīng)用，線(xiàn)面角的計(jì)算，屬于中檔題．