Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$（a＞0）在其定義域上為奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）得$\frac{{{2^{-x}}-a}}{{{2^{-x}}+a}}=-\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$，解得a的值；
（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，
證法一：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比較f（x₁），f（x₂）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義，可得f（x）是R上的增函數(shù)；
證法二：求導(dǎo)，根據(jù)′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數(shù)；

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x）得$\frac{{{2^{-x}}-a}}{{{2^{-x}}+a}}=-\frac{{{2^x}-a}}{{{2^x}+a}}$，解得a=±1．
由因?yàn)閍＞0，所以a=1．…（5分）
（2）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，證明如下：…（6分）
證法一：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，易知$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}+\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{{2^{x_1}}-{2^{x_2}}}）}}{{（{{2^{x_1}}+1}）（{{2^{x_2}}+1}）}}$．…（9分）
因?yàn)閤₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$，
所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）是R上的增函數(shù)..…（12分）
證法二：∵$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=1-\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
∴$f′（x）=\frac{ln2•{2}^{x+1}}{{（2}^{x}-1）^{2}}$，
∵f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）是R上的增函數(shù)；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．