【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)， ）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當函數(shù)有兩個零點時，證明： .

【答案】(1) 當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增.(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）對求導，再對進行分類討論，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，即可求得函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點，故，設函數(shù)的兩個零點為，代入到，可得，作差后，令結合，求得，欲證，只需證明，構造，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得，從而證出.

試題解析：（1）解：∵

∴當時，令，即當時， ，

當時， ，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時， 恒成立，故此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

（2）證明：當時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點，所以

設函數(shù)的兩個零點為，則

∴

∴

設

解得，所以

欲證，只需證明

設，則

設，則單調(diào)遞增

∴

∴在區(qū)間上單調(diào)遞增

∴

∴，故成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=kex﹣x3+2 （k∈R）恰有三個極值點xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．

（I）求k的取值范圍：

（II）求f（x2）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦．若a，b，c為直角三角形的三邊，其中c為斜邊，則a2＋b2＝c2，稱這個定理為勾股定理．現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S為頂點O所對面的面積，S1，S2，S3分別為側(cè)面△OAB，△OAC，△OBC的面積，則下列選項中對于S，S1，S2，S3滿足的關系描述正確的為(　　)

A. S2＝S＋S＋S B.

C. S＝S1＋S2＋S3 D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù) .

（1）當時，討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系內(nèi)，已知點及線段，在線段上任取一點，線段長度的最小值稱為“點到線段的距離”，記為.

（1）設點，線段 ，求；

（2）設， ， ， ，線段，線段，若點滿足，求關于的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的值域.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司研制出了一種新產(chǎn)品，試制了一批樣品分別在國內(nèi)和國外上市銷售，并且價格根據(jù)銷售情況不斷進行調(diào)整，結果40天內(nèi)全部銷完．公司對銷售及銷售利潤進行了調(diào)研，結果如圖所示，其中圖①(一條折線)、圖②(一條拋物線段)分別是國外和國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關系，圖③是每件樣品的銷售利潤與上市時間的關系．

(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)與上市時間t的關系及國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與上市時間t的關系；

(2)國外和國內(nèi)的日銷售利潤之和有沒有可能恰好等于6 300萬元？若有，請說明是上市后的第幾天；若沒有，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”，全校學生參加了這次競賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表(如圖所示)，解決下列問題.

組別

分組

頻數(shù)

頻率

第1組

[50，60)

8

0.16

第2組

[60，70)

a

■

第3組

[70，80)

20

0.40

第4組

[80，90)

■

0.08

第5組

[90，100]

2

b

合計

■

■

(1)求出a，b的值；

(2)在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上(含80分)的同學中隨機抽取2名同學到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動.

①求所抽取的2名同學中至少有1名同學來自第5組的概率；

②求所抽取的2名同學來自同一組的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，點是圓內(nèi)的一個定點，點是圓上的任意一點，線段的垂直平分線和半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；

(2)點， ，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某運輸公司接受了向一地區(qū)每天至少運送180 t物資的任務，該公司有8輛載重為6 t的A型卡車和4輛載重為10 t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的費用為A型卡車320元，B型卡車504元，則公司如何調(diào)配車輛，才能使公司所花的費用最低，最低費用為________元.

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